EL PROBLEMA DE LA IDENTIDAD

“Decir de dos cosas que son iguales es absurdo, y decir de una cosa que es igual a sí misma es no decir nada” (Wittgenstein, Tractatus 5.5303)

“Es autoevidente que la identidad no es una relación entre objetos” (Wittgenstein, Tractatus 5.5301)

---

Los Conceptos
Identidad

La identidad −también denominada “igualdad”− es una relación entre dos términos, a y b, que adopta dos formas posibles:

1. a=a. En teoría, la identidad se plantea como una relación de un objeto consigo mismo.
   
   
2. a=b. Esta forma, si a y b son diferentes, es aparentemente una contradicción y conduce a una paradoja, la llamada “paradoja de la identidad” o “problema de la identidad”. La paradoja consiste en que se están haciendo iguales dos cosas que son distintas. La solución a esta paradoja reside en la distinción que hizo Frege entre los conceptos de “sentido” y “referencia”: a y b son dos formas, expresiones o sentidos distintos de una misma referencia. El ejemplo que pone Frege es el de “el lucero del alba” = “el lucero vespertino”, en donde los términos de la igualdad hacen referencia al mismo objeto: Venus. [ver Unión de Opuestos – La Unión de Significado y Denotación.]

La primera forma es un enunciado necesariamente verdadero, a priori, sintético, que no aporta información. La segunda forma es un enunciado contingentemente verdadero, a posteriori, analítico y que aporta información.


Tipos de identidad

Existen muchos puntos de vista sobre el concepto de identidad y, por lo tanto, diferentes tipos de identidad, entre ellas: ontológica, epistemológica, lógica, abstracta, cuantitativa, algebraica, necesaria, contingente, cualitativa, formal, genérica, específica, absoluta, relativa, intrínseca, extrínseca, temporal, causal, psicológica, teórica, estricta, etc. Destacamos, entre ellas, las siguientes:

• Identidad ontológica. Cuando se consideran que las propiedades esenciales de dos objetos son las mismas.
  
  
• Identidad epistemológica. Cuando consideramos que dos conceptos o ideas tienen el mismo significado.
  
  
• Identidad lógica. Adopta también dos formas: 1) Cuando una proposición se implica a sí misma: p → p (si p, entonces p), que es una tautología, y, por lo tanto, p ↔ p (p si y solo si p); 2) Cuando dos proposiciones se implican mutuamente, p ↔ q (p si y solo si q), por ejemplo, “x es padre de y” ↔ “y es hijo de x”.
  
  
• Identidad física. Cuando decimos, por ejemplo, que todos los electrones son idénticos. A nivel intuitivo, dos objetos físicos idénticos son “copias” el uno del otro.
  
  
• Identidad predicativa. Cuando dos objetos tienen las mismas propiedades.
  
  
• Identidad relativa. Cuando a y b son idénticos con relación a un conjunto de propiedades. Por ejemplo, dos coches idénticos respecto al color.
  
  
• Identidad necesaria. Por ejemplo, a=a (reflexividad) y a+b = b+a (conmutatividad de la suma).
  
  
• Identidad contingente. Por ejemplo, “Cervantes es el autor del Quijote” (Cervantes podría no haber sido el autor del Quijote).
  
  
• Identidad temporal. Cuando a y b tienen las mismas propiedades en un instante t.

La teoría de la identidad (o tesis de la identidad) es la teoría según la cual existe una identidad entre procesos y estados mentales y cerebrales.

La ley de identidad establece que que una cosa es idéntica a sí misma y diferente de otra, que utiliza los símbolos “=” y “≠”, respectivamente. Por ejemplo, 3=3 y 3≠4. Se discute si la ley de identidad es parte o no de la lógica.


Identidad vs. indistinguibilidad

Desde el punto de vista de las propiedades, hay que diferenciar los conceptos de identidad e indistinguibilidad, cuyas definiciones son las siguientes:

• Identidad.
  Dos objetos son idénticos si tienen exactamente las mismas propiedades (definición que procede de Leibniz). Es una característica a priori, por definición, profunda y sintética.
  
  
• Indistinguibilidad.
  Dos objetos son indistinguibles si no encontramos ninguna propiedad diferenciadora. Es una característica a posteriori, experiencial, superficial y analítica.

En ambos casos se supone que las propiedades que se consideran son parciales o relativas, pues los dos objetos siempre deben diferir en algún aspecto. La identidad o la indistinguibilidad total o absoluta es absurda porque nunca podríamos hablar de dos objetos, sino de uno solo, pues decir “dos” es ya diferenciarlos. Por eso se habla de “identidad relativa” respecto a un conjunto de propiedades. Y también de “propiedades intrínsecas” (o necesarias) y “propiedades extrínsecas” (o contingentes). Por ejemplo, dos coches idénticos que solo difieren en el color (que es una propiedad extrínseca).

El concepto de identidad es de gran importancia, principalmente a nivel lógico y filosófico. No ocurre lo mismo con el de indistinguibilidad, que se considera de escaso interés e incluso falso desde el punto de vista lógico.


Las cuestiones

Sobre el concepto de identidad se plantean diversas cuestiones, como las siguientes:

• ¿Qué condiciones deben cumplir dos términos para poder establecer una identidad entre ellos?
  
  
• Cuando decimos, por ejemplo “Cervantes es el autor del Quijote”, ¿estamos estableciendo una identidad? Y si es así, ¿de que tipo?
  
  
• ¿Forma la identidad parte de la lógica?
  
  
• ¿Es lo mismo identidad que equivalencia?
  
  
• ¿Cual es la relación entre identidad y conciencia?

Principios filosóficos

En filosofía existen dos principios opuestos o duales:

• El Principio de Indiscernibilidad de los Idénticos (Pin).
  Si dos objetos son idénticos, entonces tienen las mismas propiedades. En notación lógica:
  (x)(y)(x=y) → (P)(Px ↔ Py)
  
  
• El Principio de Identidad de los Indiscernibles (Pid).
  Si dos objetos tienen las mismas propiedades, entonces son idénticos. En notación lógica:
  (x)(y)(P)(Px ↔ Py) → (x=y)

El Pid se suele denominar “ley de Leibniz” (aunque a veces se la atribuye el Pin). Pero realmente, Leibniz se refería a la imposibilidad de la existencia de objetos exactamente idénticos, una aplicación de su “principio de razón suficiente” (todo debe tener una razón, causa o fundamento).

En principio, podemos suponer que Pin implica Pid, es decir, que dos objetos idénticos son indiscernibles (puesto que tienen las mismas propiedades), pues se avanza desde lo profundo a lo superficial. Pero Pind no implica Pin, es decir, dos objetos indiscernibles podrían no ser idénticos, pues se camina desde lo superficial a lo profundo.

El Pin se considera correcto y válido, como un principio fundamental de la razón, una verdad por definición y a priori. En cambio, el Pid ha sido cuestionado hasta considerarlo incluso como un principio falso y sin sentido, en paralelo con el concepto de indistinguibilidad.

Se supone que estos dos principios se aplican a particulares, no a universales.


El principio de sustitución de los idénticos. El problema de la sustitución

Según Leibniz, si existe un enunciado de identidad entre dos términos, entonces cualquiera de los dos términos, puede sustituir al otro en cualquier enunciado sin que cambie el valor de verdad de éste. Este es el “principio de sustitución de los idénticos” o “principio de sustituibilidad de la identidad”. Y a la inversa: dos términos son el mismo si uno puede ser sustituido por el otro en cualquier sentencia salva veritate (es decir, siempre que se preserve la verdad).

Por ejemplo: 1) “Cervantes es el autor del Quijote”. Se establece en principio la identidad entre “Cervantes” y “el autor del Quijote”; 2) “Cervantes es español”. De aquí se infiere (por sustitución): 3) “El autor del Quijote es español”.

El problema surge cuando este principio no es aplicable en ciertos contextos. Por ejemplo: “Juan desea saber si Cervantes es el autor del Quijote”. Sustituyendo “autor del Quijote” por “Cervantes”, el resultado es “Pepe desea saber si Cervantes es Cervantes”, lo que altera su significado original.

Para dar cuenta de este tipo de casos en los que el principio de sustitución de los idénticos no es aplicable, Quine [1968] propuso distinguir entre contextos transparentes (en los que el principio es aplicable) y contextos opacos (en los que el principio no es aplicable, pues se cambia el significado del enunciado). Para Quine, la sustituibilidad es uno de los principios fundamentales que gobiernan la identidad.


Las Diferentes Concepciones de la Identidad
Aristóteles

Aristóteles, en su Metafísica, afirma que la noción de identidad se da en 3 formas: 1) como unidad de ser; 2) como unidad de una multiplicidad de seres; 3) como unidad de un solo ser tratado como múltiple.


Hegel

Para Hegel, la identidad expresa una relación de tipo superior, al unir los particulares.


Frege

Para Frege, la identidad es una relación profunda, entre sentidos, siendo a y b dos maneras o sentidos diferentes de hacer referencia al mismo objeto. La identidad se refiere al mismo objeto, no a objetos distintos. No tiene sentido la identidad entre objetos. Frege concibe la identidad como una noción lógica primitiva, es decir indefinible a partir de otras.


Russell

En Principia Mathematica (PM), Russell define la identidad desde el punto de vista de la lógica de predicados:

(x=y) = (φ)(φx → φy)

Se trata de la versión generalizada de la ley de Leibniz: dos objetos son idénticos si toda propiedad que la tenga uno también la tiene el otro. Y a la inversa: si dos objetos tienen las mismas propiedades son idénticos. Para Russell, pues, los dos principios (Pid y Pin) se implican mutuamente, es decir, son lógicamente equivalentes.

Según esta definición, en principio, la identidad es un concepto derivado, no primitivo. Pero realmente esta definición es circular, pues usa la noción de identidad para definir la identidad.

Russell trata la identidad principalmente en dos contextos:

1. Teoría de las Descripciones.
   Según Russell, la noción de identidad no tiene ningún interés lógico cuando se usan nombres propios, pero se vuelve útil cuando se usan descripciones definidas. Por ejemplo, una sentencia como “Scott es el autor de Waverley” es un enunciado de identidad entre dos descripciones definidas: “el ente de nombre propio ‘Scott’” y “el autor de Waverley”, que a su vez convierte en nombres lógicos. En efecto, la sentencia se convierte en “existe un único x tal que x tiene de nombre Scott y x es el autor de Waverley”.
   
   
2. Aritmética.
   Para Russell, la identidad es indispensable también desde el punto de vista aritmético. En “An Inquiry into Meaning and Truth” afirma que es teóricamente imposible contar objetos si no se considera la identidad. Pone el ejemplo siguiente. Supongamos que deseamos contar una colección de 5 objetos (A, B, C, D, E) y que B y C son idénticos. Si no consideramos la identidad, contaremos 5 objetos. Y si la consideramos, entonces, al contar B, también se está contando C y, por lo tanto, se contarán solo 4 objetos.

Wittgenstein

Wittgenstein, en el Tractatus, somete a la noción filosófica de identidad a una crítica completa:

• “Decir de dos cosas que son iguales es absurdo, y decir de una cosa que es igual a sí misma es no decir nada” (Tractatus 5.5303).
  
  
• La noción de identidad es irreprochable, pero para expresar la identidad entre objetos no es necesario definir la identidad formalmente ni usar el signo de identidad para nada. La diferencia entre objetos la expresan los propios signos. Si los signos son iguales es que hay identidad. La identidad no es una relación entre objetos sino entre signos iguales. “Frege dice que estas expresiones tienen el mismo significado pero diferentes sentidos. Pero lo esencial de la ecuación es que no es necesario mostrar que dos expresiones que están conectadas por el signo de igualdad tienen el mismo significado: porque esto puede percibirse de las dos expresiones mismas” (Tractatus 6.232). “Por lo tanto, el signo de identidad no es un componente esencial de la notación lógica” (Tractatus 5.533).
  
  
• Diferencia entre los conceptos de identidad e igualdad: “Si dos expresiones vienen unidas por el signo de igualdad, ello quiere decir que so sustituibles una por otra” (Tractatus 6.23).
  
  
• Si “ser idéntico a sí mismo” es un predicado genuino, entonces “ser diferente de” también lo es. Pero no existe la propiedad “ser diferente de” en abstracto. No hay dos objetos que difieran entre si solo porque son diferentes. No existen los predicados monádicos de identidad ni su contrario, de diferencia. La identidad y la diferencia se muestran a través de los signos, según sean iguales o diferentes.
  
  
• La noción de identidad en filosofía no se corresponde con la noción normal. Hablar de identidad en el lenguaje normal es hablar de identidad parcial o relativa.
  
  
• El Pin es una proposición con sentido y verdadera. El Pid no es otra cosa que una tautología mal expresada. De todas formas, cuando se habla de las “mismas propiedades, hay que diferenciar entre:
  
  
  1. Propiedades no compartidas. Por ejemplo, dos personas, A y B, tienen coches idénticos, pero cada uno el suyo.
     
     
  2. Propiedades compartidas. Por ejemplo, dos hermanos, A y B, tienen una madre en común. No tiene sentido decir que la madre de A es idéntica a la madre de B, puesto que se trata de la misma persona.
  
  Si el Pid se interpreta como que no existen dos objetos diferentes que tengan todas sus propiedades en común, entonces el principio es incuestionable, pero trivial.
  
  
• Cuando se habla de propiedades necesarias de un objeto no se está hablando estrictamente de propiedades (no se está predicando nada) sino de definiciones de los propios objetos en el contexto de una gramática.
  
  
• La definición de identidad de Russell es circular. No es una definición formal, sino un mero mecanismo notacional para facilitar la expresión de las ideas. Y ni siquiera corresponde a la interpretación normal de identidad en el lenguaje natural.
  
  
• Contar no requiere el concepto de identidad, como sostiene Russell.
  
  
• Russell hace un doble uso del signo de identidad:
  
  
  1. Como definición o sustitución, que es un mecanismo para abreviar las expresiones. Por ejemplo, 7+5+8 = 20, es decir que podemos especificar 20 en lugar de 7+5+8. Y la forma a=a es una pseudoexpresión, puesto que interpretada como sustitución no tiene sentido.
     
     
  2. En la conversión de las descripciones definidas en nombres lógicos (“el x tal que...”). Pero en las sentencias donde aparecen nombres lógicos no hay ninguna alusión a la identidad.

En definitiva −concluye Wittgenstein− la problemática de la identidad no es otra cosa que una consecuencia de confusiones conceptuales. En filosofía no hay problemas genuinos sino meros enredos conceptuales.


Ramsey

Frank Plumton Ramsey, en su famoso artículo “The Foundations of Mathematics” [2001], reflexiona sobre el concepto lógico de identidad utilizado por Russell en Principia Mathematica (PM):

• La noción de identidad que se utiliza en PM es el resultado de una mala interpretación de las matemáticas en general. Una consecuencia de esta mala interpretación es el “axioma de infinitud” que Russell necesita para la fundamentación lógica de la matemática. Si la identidad se concibe correctamente, este axioma es o una tautología o una proposición falsa. [El axioma de infinitud −criticado porque no parece ser una verdad lógica− afirma que existe un conjunto infinito, el conjunto de los números naturales.]
  
  
• Además, en PM, la identidad depende del “axioma de reducibilidad”. Rechazar este axioma implica rechazar automáticamente la noción de identidad.
  
  [Según Russell, el axioma de reducibilidad es una versión generalizada del principio leibniziano de identidad de los indiscernibles. Este axioma fue introducido por Russell como parte de su teoría ramificad de tipos, para intentar resolver el problema de las paradojas. Ha sido criticado por ser demasiado complejo y por no estar claramente justificado a nivel lógico. Un axioma debe ser algo autoevidente, y este axioma no lo es.]
  
  
• Se necesita un simbolismo que permita expresar que dos cosas A y B tienen las mismas propiedades y sin embargo son diferentes.
  
  
• La identidad no es una función proposicional genuina, sino una mera notación simbólica.

Kripke

Para Kripke, hay identidades necesarias y contingentes. Define “designador rígido” a un nombre que es el mismo en todos los mundos posibles en los que esa entidad existe, y no designa nada más en esos mundos posibles en los que esa entidad no existe. Los nombres propios son designadores rigidos, como “agua” y H₂O”, pues ambos designan el mismo tipo de materia en todo mundo posible.

• Una identidad necesaria es la que ambos términos son designadores rígidos. Si la expresión a=b es verdadera, y si a y b son designadores rígidos, entonces es una identidad metafísicamente verdadera, es decir, verdadera en todos los mundos posibles. Por ejemplo, “agua=H₂O” es metafísicamente necesaria, aunque no pueda saberse a priori que el agua es H₂O.
  
  
• Una identidad contingente es la que contiene un término que no es un designador rígido. Por ejemplo, “Franklin es el inventor de las bifocales” es contingente, pues Franklin podría no haber sido el inventor de las bifocales. Y “el inventor de las bifocales” no es un designador rígido.

¿Es la identidad parte de la lógica?

Está justificado preguntarse si la identidad debe formar o no como parte de la lógica, es decir, si la lógica puede formalizar el concepto de identidad. En este sentido, debemos tener en cuenta los aspectos siguientes:

• La identidad lógica no es más que dos expresiones que hacen referencia, no a un objeto, sino a una relación (por ejemplo, la relación padre−hijo) entre proposiciones.
  
  
• La teoría de la identidad es una teoría básica, neutral y universal, como la teoría lógica de la cuantificación.
  
  
• La identidad se incluye a veces entre las primitivas lógicas del cálculo de predicados como un predicado binario. En este caso se denomina “ lógica de predicados de primer orden con identidad”.
  
  
• Se puede utilizar el lenguaje del cálculo de predicados para caracterizar la identidad mediante predicados y cuantificadores, pero existen limitaciones asociadas a dicho lenguaje. Incluso se garantiza la sustituibilidad sin necesidad de acudir a ningún principio ontológico.
  
  
• Gödel demostró en 1930 que la lógica de predicados de primer orden con identidad es un sistema axiomático completo. Gödel no intentó definir la identidad, sino caracterizar su funcionamiento a nivel lógico.
  
  
• Si las verdades lógicas lo son en razón de su estructura, entonces las verdades de la teoría de la identidad (como x≡x) no serían verdades lógicas. Aceptar la identidad como parte de la lógica sería cuestionar su carácter formal. Por ejemplo, las expresiones (∀x)(x=x) y (∃y)(x=y) son inaceptables como verdades lógicas porque son falsables cuando sustituimos “=” por otro predicado. No obstante, las leyes de la identidad se pueden considerar como formas abreviadas de verdades lógicas de la teoría de la cuantificación, esto es, como verdades puramente formales que no hacen referencia a ningún predicado en particular.

Frege −como logicista que era− lo tenía claro: la identidad forma parte de la lógica. Willard van Orman Quine [1970], tras estudiar los pros y los contras, se decantó también por incluir la identidad en el reino de la lógica.


MENTAL: Equivalencia y Sustitución
La identidad es un concepto muy importante porque facilita y simplifica la descripción de la realidad. Es la tendencia de la razón y de la conciencia en convertir la multiplicidad en clases, donde los elementos de cada clase son idénticos entre sí.

El problema de la identidad (y todo su contexto asociado), así como su formalización, tiene una solución muy simple en MENTAL mediante dos conceptos esenciales perfectamente diferenciados (aunque estrechamente relacionados), que son arquetipos primarios de los que no se puede prescindir: equivalencia y sustitución, representados respectivamente por los símbolos “≡” y “=”.


Equivalencia

La identidad entre dos objetos diferentes no tiene sentido, como afirmaba Frege y Wittgenstein. Solo tiene sentido cuando se refiere a diferentes formas o expresiones de hacer referencia a un mismo objeto. Por lo tanto, es más adecuado hablar de “equivalencia”, para evitar también que surja el fantasma de la paradoja de la identidad, porque la paradoja surge fundamentalmente de la propia denominación de “identidad” o “igualdad”. Cuando consideramos dos expresiones equivalentes, las estamos conectando, lo que supone una elevación de la conciencia, al ascender a una posición superior desde la que se contemplan como equivalentes. Es la conciencia la que los une. La equivalencia es, a la vez, ontológica y epistemológica.

• Dos expresiones a y b son equivalentes si se evalúan o representan a la misma expresión. Ejemplos:
  
  
  1. Las expresiones 2^3, 4*2 y 5+3 no son iguales, son equivalentes, pues todas ellas hacen referencia al número 8.
     
     
  2. Las expresiones {a b c} y {c b a} son equivalentes, porque representan al mismo conjunto.
     
     
  3. Las expresiones ( 1…4 ) y (1 2 3 4) son equivalentes porque ambos representan 1234.
     
     
  4. Las expresiones (∞ =: 1+∞) y (∞ =: ∞+1) son equivalentes porque ambos representan el infinito.
  
  
• Una expresión de equivalencia es una relación horizontal entre expresiones. El ejemplo paradigmático es
  ⟨( x+y ≡ y+x )⟩
  (conmutatividad de la suma de expresiones).
  
  
• Para hacer equivalentes dos expresiones se necesitan dos condiciones: 1) Las expresiones a ambos lados del símbolo de equivalencia deben hacer referencia a lo mismo; 2) Las dos expresiones deben tener el mismo nivel de significación. No se puede hacer equivalentes algo superficial y algo profundo. La equivalencia entre expresiones deben ser de tipo horizontal, no vertical. Y la sustitución de una expresión por su equivalente tiene sentido cuando ambas expresiones tienen el mismo nivel de significación. No se trata, pues, de un problema de contextos opacos o trasparentes, como decía Quine, sino de un problema de la propia expresión de equivalencia.
  
  Por ejemplo, no tiene sentido decir que “Cervantes” es equivalente al “autor del Quijote”, es decir, (Cervantes ≡ Autor(Quijote)), pues la primera expresión tenemos solo un nombre, y la segunda expresión supone un nivel de significación superior. Tampoco podemos hacer equivalentes los términos Madrid y "La capital de España”, es decir, (Madrid ≡ Capital(España)). En ambos casos tenemos relaciones verticales.
  
  En cambio, una relación horizontal es la ya mencionada que expresa la conmutatividad de la suma. Y también
  
  
  (autor(Quijote) ≡ autor("Novelas ejemplares")
  
  También podemos especificar equivalencias entre nombres. Por ejemplo,
  
  
  (London ≡ Londres).
  
  
• La equivalencia no es una noción lógica primitiva, como afirmaba Frege, Russell y Quine. La equivalencia trasciende a la lógica, y es diferente e independiente de la lógica. La única noción lógica que existe es “condición”, que es totalmente diferente e independiente de la equivalencia. La equivalencia es un arquetipo, una dimensión semántica que es indefinible, como el resto de las primitivas, pero todo se construye a partir de ellas.
  
  
• El término “no equivalente” aparece solo como expresión descriptiva o como condición:
  
  
  (x ≡' y) (x no es equivalente a y)
  
  (z ← (x ≡' y))
  (z si x e y no son equivalentes)
  
  
• Para describir el conjunto de los números naturales no se necesita el concepto de identidad −como afirma Russell−, sino el de sustitución potencial. Por ejemplo, simplemente, {1…}.
  
  
• En toda expresión se consideran siempre todas sus equivalentes, eligiéndose automáticamente la de mayor simplicidad (principio de simplificación). Por ejemplo:
  
  
  {a b c}+{c b a} // ev. 2*{a b c}
  
  
• Además de la equivalencia absoluta (independiente del contexto), existe la equivalencia relativa. Por ejemplo, las 4 soluciones de la ecuación x^4 = 1 son equivalentes relativas:
  
  
  (x^4)/(x=1) ≡ (x^4)/(x=−1) ≡ (x^4)/(x=i) ≡ (x^4)/(x=−i) ≡ 1
  
  
• La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia normal. Son dos expresiones que se implican mutuamente. Por ejemplo:
  
  
  ⟨((padre(x) = y) ↔ (hijo(y) = x))⟩
  
  La equivalencia lógica es una relación de equivalencia, pues se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, como la equivalencia normal, creándose clases de equivalencia formadas por expresiones que se implican mutuamente:
  
  Reflexiva:
  ⟨( (p ↔ p) )⟩
  
  Simétrica:
  ⟨( ((p ↔ q) → (q ↔ p)) )⟩
  
  Transitiva:
  ⟨( (p ↔ q) → (q ↔ r) → (p ↔ r) )⟩

Sustitución

Así como la equivalencia es una relación horizontal, la sustitución es una relación vertical entre dos expresiones: a = b (a se evalúa como b). Existen dos formas o modelos de sustitución:

1. La sustitución inmediata o actual (x = y), que es una relación vertical descendente.
   
   
2. La sustitución potencial, diferida o de representación (x =: y), que es una relación vertical ascendente.

Con ambas formas se pueden hacer definiciones (particulares o generales). Existe adicionalmente la “sustitución inicial” (x := y).

• Los términos “igualdad”, “desigualdad” aparecen como condiciones. Adicionalmente la desigualdad se puede utilizar como descripción:
  
  (z ← x=y) (z si x e y son iguales)
  
  (z ← x≠y) (z si x e y son diferentes)
  
  (x ≠ y) (describe que x no es igual a y)
  
  
• Como sostenía Wittgenstein, la igualdad y la diferencia no es un predicado monádico, pero sí puede expresarse como diádico, de la forma alternativa siguiente:
  
  ((a b)/= = α) ↔ a=b) (a y b son iguales, como condición)
  
  ((a b)/≠ = α) ↔ a≠b) (a y b son diferentes, como condición)
  
  Estas expresiones se pueden generalizar para más de dos expresiones. Por ejemplo,
  
  ((a b c)/= = α) ↔ (a=b ← a=c)) (a, b y c son iguales)

Expresiones “sujeto-predicado” vs. sustitución

Cuando decimos, por ejemplo, “Cervantes es autor del Quijote”, el “es”, en general, no indica equivalencia sino predicado:

Cervantes/(autor(Quijote))

Pero que Cervantes sea el autor del Quijote no indica que sea el único autor, pues esta obra podría haber sido escrito por varios autores. Pero si decimos “Cervantes es el autor de Quijote”, “es el” indica unicidad. Esto se puede expresarse de dos maneras:

(autor(Quijote) = Cervantes)) (sustitución inmediata)

(Cervantes =: autor(Quijote)) (sustitución diferida o representación)

En el primer caso, se identifica al autor a través de una función particular (autor) y un argumento (Quijote). En el segundo caso, Cervantes es una etiqueta para referirse al autor del Quijote.

En general, “es” indica atributo o propiedad. Y “de” indica argumento de función.

Podemos también usar expresiones declarativas. Por ejemplo:

(satélite(Tierra) = Luna) (La Luna es satélite de la Tierra)

(satélite(Tierra) ≠ Ganímedes) (Ganímedes no es satélite de la Tierra)

Propiedades

1. Reflexiva: ⟨ x≡x ⟩
   
   
2. Simétrica: ⟨( x≡y → y≡x )⟩
   
   
3. Transitiva: ⟨( x≡y → y≡z → x≡z)⟩
   
   Estas tres primeras propiedades determinan una relación de equivalencia, dando lugar a “clases de equivalencia”, donde una clase es el conjunto de expresiones equivalentes entre sí.
   
   
4. La sustitución implica equivalencia, pero no al revés:
   
   ⟨( x=y → x≡y )⟩.
   
   
5. Si dos expresiones x e y son equivalentes, entonces toda propiedad p relativa a x es equivalente a la misma propiedad p relativa a y:
   
   ⟨( x≡y → (x/p ≡ y/p) )⟩
   
   
6. Si dos expresiones, x e y, se evalúan como una misma expresión, entonces son equivalentes:
   
   ⟨( x=z → y=z → (x ≡ y) )⟩
   
   
7. El principio de sustitución de los idénticos es correcto. Si tenemos una expresión z que contiene otra expresión x, y si x≡y, entonces z es equivalente a la misma expresión sustituyendo x por y:
   
   ⟨( (z/(x = θ) ≠ z))→ (x ≡ y) → (z ≡ z/(x = y)) )⟩
   
   La expresión (z/(x = θ) ≠ z/(x = θ)°) indica la condición de que la expresión z contenga a la expresión x. Por ejemplo:
   
   {a b c}/(b=θ) (ev. {a c}, pues contiene b)
   
   {a b c}/(u=θ) (ev. {a b c}, pues no contiene u)
   
   
8. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, son equivalentes:
   
   ⟨(x∈A ↔ x∈B)⟩ → (A ≡ B) )⟩

---

Bibliografía

• Fogelin, Robert J. Wittgenstein (Arguments of the Philosophers). Routledge, 1995.
  
  
• Frege, Gottlob. Sobre sentido y referencia. En Estudios sobre Semántica, Ediciones Folio, 2003. Y en [Valdés Villanueva, Luis Manuel, 2012]. Disponible en Internet.
  
  
• Kripke, Saul. El nombrar y la necesidad. UNAM, México, 1995.
  
  
• Quine, Willard van Orman. Palabra y objeto. Labor, 1968.
  
  
• Quine, Willard van Orman. Desde un punto de vista lógico. Paidós Ibérica, 2002.
  
  
• Quine, Willard van Orman. Filosofía de la lógica. Alianza, 1998.
  
  
• Ramsey, Frank Plumton. The Foundations of Mathematics and other Logical Essays. Routledge, 2001.
  
  
• Ramsey, Frank Plumton. Obra filosófica completa. Comares, 2005.
  
  
• Russell, Bertrand; Whitehead, Alfred North. Principia Mathematica. Paraninfo, 1981.
  
  
• Russell, Bertrand. An Inquiry into Meaning and Truth. Routledge, 1996.
  
  
• Russell, Bertrand. Los problemas de la filosofía. Labor, 1991. Disponible en Internet.
  
  
• Russell, Bertrand. Introducción a la filosofía matemática. Paidós Ibérica, 2002. Disponible en Internet el original en inglés.
  
  
• Russell, Bertrand. Los principios de la matemática. Círculo de Lectores, 1996. Disponible en Internet el original en inglés.
  
  
• SEP (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Relative Identity, 2007.
  
  
• Tomasini Bassols, Alejandro. Enigmas filosóficos y filosofía Wittgensteiniana. Edere (México), 2002.
  
  
• Tomasini Bassols, Alejandro. Wittgenstein, Identidad e Indiscernibilidad. Internet.
  
  
• Valdés Villanueva, Luis Manuel (ed.). La búsqueda del significado. Lecturas de filosofía del lenguaje. Tecnos, 2012.
  
  
• Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. Altaya, 1994. Disponible en Internet.